الحل العددي لمعادلة البندول البسيط باستخدام طريقة "رونج-كوتا" من الرتبة الرابعة: دراسة مقارنة مع الحلول التحليلية
DOI:
https://doi.org/10.65420/sjphrt.v2i2.130الكلمات المفتاحية:
طريقة رونج-كوتا، التحليل العددي، البندول البسيط، المعادلات التفاضلية، MATLAB، حفظ الطاقةالملخص
تستقصي هذه الدراسة الحل العددي لمعادلة البندول غير الخطية باستخدام طريقة "رونج-كوتا" من الرتبة الرابعة. على الرغم من أن البندول البسيط يعد مسألة كلاسيكية في الديناميكا، إلا أنه غالباً ما يفتقر إلى حل تحليلي صريح للسعات العشوائية، مما يستدعي استخدام الأساليب العددية. من خلال تطبيق خوارزمية "رونج-كوتا" من الرتبة الرابعة، قام هذا البحث بحساب الإزاحة الزاوية والسرعة لبندول طوله 4 أمتار تحت شروط ابتدائية محددة. أجرت الدراسة مقارنة شاملة بين النتائج العددية والحلول التحليلية لتقييم دقة واستقرار الطريقة. تم التنفيذ باستخدام برنامج MATLAB، حيث تم تحليل تأثير متغيرات مختلفة، بما في ذلك النطاق الزمني وحجم الخطوة (h)، بشكل منهجي لتحسين الأداء والدقة. تظهر النتائج أن أحجام الخطوات الأصغر (مثل h=0.001) تعزز الدقة العددية بشكل كبير، على الرغم من أنها تتطلب وقتاً حسابياً أطول. علاوة على ذلك، فحصت الدراسة حفظ الطاقة، موضحة التبادل الدوري بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة في النظام. وفي النهاية، تؤكد هذه الدراسة أن طريقة "رونج-كوتا" من الرتبة الرابعة هي أداة فعالة وقوية للغاية لحل المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الثانية في الأنظمة الفيزيائية. توفر النتائج رؤى قيمة للتطبيقات في قياس الزمن، وقياس الجاذبية، والملاحة بالقصور الذاتي، حيث تعد النمذجة الدقيقة للبندول أمراً ضرورياً.
